Ω







Número transfinito






En teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a los ordinales infinitos, esto es, mayor que cualquier número natural o finito, para diferenciarlos del infinito real o absoluto. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, «transfinito» e «infinito» son sinónimos.1



Índice

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1 Primeros números transfinitos
2 Aritmética de cardinales transfinitos
3 Historia y desarrollo
4 Véase también
5 Referencias

[editar]Primeros números transfinitos


Al igual que con los números naturales, puede pensarse en los números transfinitos como cardinales u ordinales:
ω (omega): es el menor ordinal transfinito. Sus elementos son los números naturales, tal y como son construidos en teoría de conjuntos, y representa el tipo de orden de estos.
ℵ0, alef-0: es el primer número alef, y el primer cardinal transfinito (asumiendo el axioma de elección). Es conjuntísticamente idéntico a ω, pero se utilizan notaciones diferentes para resaltar el aspecto ordinal o cardinal de los conjuntos numerables.
ℵ1, alef-1: es el segundo número alef, y el cardinal siguiente a ℵ0 (asumiendo el axioma de elección).
c = 2ℵ0: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de una recta o de los números reales.


Asumiendo el axioma de elección, todo lo que puede demostrarse con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es:




La hipótesis del continuo afirma que de hecho c = ℵ1. Sin embargo, el trabajo de Gödel y Paul Cohen demuestra que la hipótesis es independiente de dichos axiomas: no puede ser refutada o demostrada a partir de ellos. Es decir, usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen . La hipótesis del continuoafirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta), como "teorías de conjuntos no cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo sea falsa). Esta situación es similar a la de las geometrías no euclidianas.
[editar]Aritmética de cardinales transfinitos


Para los números transfinitos se pueden extender sin ambigüedad la suma, la multiplicación y la potenciación. Sean por ejemplo dos conjuntos disjuntos y , la suma y la multiplicación puede construirse a partir del cardinal de la unión y del producto cartesiano de estos dos conjuntos:





Es sencillo comprobar que estas operaciones están bien definidas ya que:





Aunque la suma y la multiplicación no presentan problemas, la resta y la división no están definidas. A diferencia de lo que sucede con los cardinales finitos no pueden definirse sin ambigüedad operaciones equivalentes a la resta o la división. La resta y la división pueden introducirse entre los cardinales finitos gracias a que a partir del conjunto de los cardinales finitos, que coinciden con los números naturales , pueden construirse el conjunto de los enteros y de los racionales. La construcción de los enteros y los racionales es posible debido a que todo cardinal finito es regular respecto a la suma, es decir, para cualesquiera cardinales a, b y c > 0, finitos se cumple:





Esas dos últimas propiedades de hecho no se cumplen nunca cuando uno de los cardinales es transfinito, si tenemos la siguientes igualdades:





Los cardinales transfinitos dotados de la suma o la multiplicación constityen un monoide conmutativo. Debido a la falta de regularidad de los cardinales transfinitos no es aplicable el teorema de simetrización de un monoide que permitiría definir la resta y la división.


La potenciación requiere construir un conjunto más complicado, pero resulta igualmente bien definida. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y y se puede definir la exponenciación como el cardinal del conjunto de funciones de B en A:





Un caso particular interesante se da cuando a = 2, en este caso podemos por ejemplo A = {0,1}, y el conjunto AB se puede identificar naturalmente con el conjunto de partes de B o conjunto potencia.





La potenciación también tiene propiedades de saturación curiosas, así para cardinales de tipo alef se tiene:



[editar]Historia y desarrollo


Cantor se percató de que era posible hablar de la cantidad de elementos de un conjunto infinito tal y como se habla de la cantidad de elementos de un conjunto finito. Es decir, encontró que era posible “medir” el tamaño de un conjunto infinito y, de hecho, comparar el tamaño de dos conjuntos infinitos para encontrar que el de uno era “mayor” que el del otro, y elaboró una teoría hasta cierto punto rigurosa respecto de estas ideas: la teoría de números transfinitos.


Cantor argumentaba que el desprecio de los matemáticos por el infinito y su naturaleza se debía a un abuso de este concepto. Lo que Cantor quería decir era que el término infinito se aplicaba sin distinción a cualesquiera conjuntos no finitos, siendo que, de entre ellos, era posible tomar algunos que son, de alguna manera, medibles y de tamaños comparables. Las reflexiones y posterior estudio de Cantor acerca de todo esto comenzaron cuando, intuyendo éste algún resultado no trivial, se preguntó si era posible poner en correspondencia uno a uno el conjunto de los números naturales con el conjunto de los números reales. Pronto pudo Cantor demostrar que no existía tal correspondencia, revelando así una diferencia entre la infinitud de dos conjuntos infinitos, lo que constituyó, en definitiva, un resultado de mucho interés. Cantor probó también que, contrario a lo que pudiera pensarse, el conjunto de los números racionales, que tiene propiedad de densidad, se corresponde uno a uno con el conjunto de los números naturales.


Es fácil dar un ejemplo de dos conjuntos que, uno teniendo todos los elementos del otro y más, se corresponden uno a uno. Tomemos, por ejemplo, a los números naturales:





y tomemos ahora solo aquellos números que son el cuadrado de algún número natural (claramente no todos los números naturales cumplen con esta característica, por lo que se descartan muchos de ellos):





Apenas es necesario explicar más para percatarse de que existe una correspondencia uno a uno entre y su subconjunto


.


Además, Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos de un conjunto. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales, los cuales pueden ser también transfinitos. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.
[editar]Véase también







Ω











Letras griegas


Α α Alfa

Β β Beta


Γ γ Gamma

Δ δ Delta


Ε ε Épsilon

Ζ ζ Dseda


Η η Eta

Θ θ Zeta


Ι ι Iota

Κ κ Kappa


Λ λ Lambda

Μ μ Mi


Ν ν Ni

Ξ ξ Xi


Ο ο Ómicron

Π π Pi


Ρ ρ Ro

Σ σ Sigma


Τ τ Tau

Υ υ Ípsilon


Φ φ Fi

Χ χ Ji


Ψ ψ Psi

Ω ω Omega


Letras obsoletas


Digamma

Stigma


Heta

San


Sho

Qoppa


Sampi


Alfabeto griego



Para otros usos de este término, véase omega sonic (desambiguación).


Omega (Ω ω, en griego ὦ μέγα) es la vigésima cuarta y última letra del alfabeto griego. Su forma recuerda a una Ο abierta por abajo. Fonéticamente se pronunciaba como una O larga de apertura media. Su nombre literal, o grande se contrapone al de la letra ómicron (ὂ μικρόν, o pequeña), que en griego antiguose pronunciaba como una o breve cerrada. En griego moderno ambas letras se pronuncian como o abierta. Esta denominación es de origen bizantino, en laGrecia antigua se llamaba ō (ὦ) a la omega y ou (οὖ) a la ómicron.


En el sistema de numeración griega tiene un valor de 800.


Como es la última letra del alfabeto, la omega puede ser usada para denotar el fin de algo, como opuesto de alfa, que simbolizaba el comienzo. Por ejemplo, «Yo soy el alfa y el omega, el primero y el último, el principio y el fin» (Apocalipsis 22.13).


El origen del símbolo de omega mayúscula ha sido durante tiempo tema de debate entre los expertos ya que el símbolo data de antes de la creación del alfabeto griego y puede ser examinado en diferentes culturas sin relación llevando a diferentes teorías al respecto.


Este carácter dio origen a letras de otros alfabetos como la omega cirílica (Ѡ), en la actualidad obsoleta, o la runa odal (ᛟ) del futhark antiguo.
[editar]El símbolo ω (letra minúscula)


La letra minúscula ω es usada como un símbolo:
En física, velocidad angular o frecuencia angular.
En matemáticas, el primer número ordinal transfinito.
En Telecomunicaciones, está relacionada con el espectro de una señal continua.
En electricidad, pulsación de una señal.
En bioquímica, para indicar el número de carbonos desde el fin de la cadena alifática de un ácido graso. En los ácidos graso insaturados indica cuantos carbonos hay entre el fin de la cadena y el doble enlace. Los ácidos grasos Omega-3, por ejemplo, tienen doble enlace tres carbonos desde el fin de la cadena.


La omega ha sido usada para simbolizar:
el nombre de la versión libre de 16 bits (Unicode) de TEX ([1]).
[editar]El símbolo Ω (letra mayúscula)
En física, representa la resistencia eléctrica de un material.
En estadística, representa el Espacio muestral.
En ciencias de la computación, representa el conjunto de todas las funciones de complejidad que son cota inferior de otra función dada.
En Telecomunicaciones, está relacionada con el espectro de una señal discreta.
En física, Ω representa el Ohm