FLOWER OF LIFE DURERO

Curvas planas

miércoles, 13 de octubre de 2010

Espiral de Durero en rectángulo áureo

Hacemos un cuadrado de base CD. En su punto medio M y con radio MA (A es el vértice superior derecho del cuadrado) hacemos el arco que corta a CD en B.
Levantando por B una vertical y por A haciendo una horizontal encontramos en su intersección el punto T. El cuadrado original más el rectángulo ATDB es un rectángulo áureo y éste último es proporcional a la suma de los dos. Por analogía, dentro de ATDB podemos ubicar otro cuadrado de lado AT y así hasta el infinito.
Dentro de cada rectángulo que obtenemos por este procedimiento colocamos un cuadrado.
Para construir la espiral, hacemos centro en D (O1) con radio DC y obtenemos el primer arco. Luego, con centro en O2 y radio O2-A hacemos el 2º arco, después con centro en O3 y radio hasta donde concluye el último arco hacemos el 3º. Procedemos análogamente con los siguientes arcos, centro en O4, O5, etc.

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AB=AE+EB; AB/AE=AE/EB
la espiral de Durero, mal llamada logarítmica, pero muy análoga en forma y propiedades, tiene un crecimiento de anchura uniforme y continua. Es una espiral equiangular y la distancia entre sus brazos se incrementa en progresión geométrica, esto quiere decir que en vez de ir sumando la misma dimensión para pasar de un brazo al otro como pasa con las de progresión aritmética, pues hay que multiplicar por un número constante cada brazo. Por ejemplo si un brazo pasa por el punto 1 y crece en una progresión constante de dos unidades, el siguiente tramo pasará por el punto 2, el siguiente por el 4, el siguiente por el 8, el siguiente por el 16, etc. Obtendremos los siguientes puntos multiplicando por dos.
Es una espiral que se da en los tornados, en las conchas de moluscos, en la trayectoria que siguen los insectos para buscar la luz, en la trayectoria que sigue el halcón para cazar su presa, en las galaxias, en las telas de araña, en las superficies de fallas, en las curvas de la borrasca, en la concha del caracol, en las de las piñas, en la estructura de las curvas de la superficie del erizo, en los desagües, en las curvas de dónde salen las cuerdas de los violines, en los bordes de las rosas de los pétalos, etcétera.


En un rectángulo áureo (el rojo más el azul) hacemos una circunferencia con centro en B y con el radio BC. Hacemos otra verde con centro en A y radio AB. La intersección de las 2 nos determina el punto M, que junto a A y B definen el triángulo áureo, señalado con una trama verde.

En el triángulo áureo cogemos el centro B y con el radio AB obtenemos D en la intersección con AC. Luego con centro en A y radio Ad obtenemos M, con centro en D y radio DM obtenemos E y así sucesivamente.
Para obtener la espiral hacemos centro en D con radio DC y hacemos un arco hasta B. Hacemos centro en M y con radio MB hasta A.
Hacemos centro en E y con radio EA hasta D.
Hacemos centro en F y con radio FD hasta M.
Hacemos centro en G y con radio GM hasta E. Etc.